52 článků s nálepkou matematika


Středa 29. července 2009


3. srpna bude v pražském kongresovém centru Clarion zahájena 16. mezinárodní konference o matematické fyzice. Celosvětově nejvýznačnější setkání matematických fyziků se koná co tři roky a letos potrvá do 8. srpna. Zúčastnit se ho má téměř sedm stovek vědců. Konferenci zahájí předseda Akademie věd ČR Jiří Drahoš. “Matematická fyzika je vědní disciplína zabývající se rozhraním mezi matematikou a fyzikou. Čeští vědci jsou v tomto oboru aktivní, například skupina matematické fyziky v Ústavu jaderné fyziky Akademie věd ČR se zabývá teoretickým rozborem miniaturních polovodičových a jiných struktur, jaké dnes vyrábějí a studují ...


Čtvrtek 2. července 2009



Úterý 12. května 2009



Úterý 28. dubna 2009



Pondělí 27. dubna 2009


Matematické modelování si razí cestu napříč nejrůznějšími přírodními vědami už od 16. století. Nejdéle mu odolávala biologie, ale i už ve vědě o živém se matematické modely používají přinejmenším několik desítek let. Vědci z University of New York přišli nedávno s modelem, který vysvětluje, proč je příroda barevná.


Neděle 26. dubna 2009



Pátek 24. dubna 2009



Pondělí 20. dubna 2009



Úterý 7. dubna 2009



Pondělí 6. dubna 2009



Sobota 28. března 2009



Sobota 21. března 2009



Středa 18. března 2009



Pondělí 16. března 2009



Pondělí 2. března 2009



Sobota 14. února 2009



Pondělí 9. února 2009



Sobota 7. února 2009



Středa 4. února 2009


Na ScienceWorldu jsme si již představili celou řadu matematických paradoxů, chytáků či úloh, jejichž řešení je antiintuitivní. Následující příklad je dost triviální: nejprve dostaneme za úkol obtočit Zemi na rovníku provazem. Poté dostaneme za úkol prodloužit tento provaz tak, aby obtočil Zemi metr nad rovníkem – musíme tedy nějaký provaz přidat.


Úterý 20. ledna 2009


Z teorie inflace vyplývá, že ostrovní vesmíry jsou vždy nekonečné, takže každý z nich obsahuje nekonečně moc O-regionů. A z kvantové mechaniky zase vyplývá, že existuje pouze konečný počet historií, které se v O-regionu mohou odvíjet. Když tato dvě tvrzení spojíme, zákonitě dojdeme k závěru, že každičká historie by se nekonečněkrát měla opakovat...


Neděle 18. ledna 2009


V minulém článku jsme viděli, jak lze vyjádřit Eulerovo číslo pomocí limity a nekonečné řady. Zobecněním tohoto vztahu získáme definiční vztah pro (přirozenou) exponenciální funkci:

(Vykřičník za číslem označuje faktoriál z tohoto čísla, platí : N!= N·(N-1)·(N-2)···3·2·1, 0!=1.) Tento definiční vztah exponenciální funkce je možná poněkud složitý, ale jeho vyšší obecnost nám dovoluje z tohoto vztahu získat vztahy pro další základní matematické funkce, jejichž spojitost s exponenciální funkcí není na první pohled zřejmá: Jedná se především o funkce sinus a cosinus.

Než se do toho pustíme, je nutné vysvětlit, alespoň pár základních pojmů z teorie komplexních čísel. Reálná čísla, se kterými se setkáváme v běžném životě, dokáží přesně vyjádřit jakékoliv množství či délku. Existují ovšem případy, kdy tato čísla přestávají  stačit - existují rovnice s reálnými koeficienty, které nemají v oboru reálných čísel řešení. Příkladem je rovnice
Proto byly zavedeny tzv. komplexní čísla, aby byl problém chybějících kořenů algebraických rovnic vyřešen. Základem je myšlenka vhodně zadefinovat odmocninu z -1 a korektně zadefinovat principy početních operací.

Definujme tzv. imaginární jednotku i takto:
Poznamenejme pak, že obecný tvar komplexního čísla je a+bi, kde i je imaginární jednotka; další info třeba na wikipedii. Nyní se již můžeme pustit do prvního rázného kroku. Zkusme do definičního vzorce pro exponenciální funkci dosadit za x výraz ix:
Tedy získali jsme vyjádření v podobě součtu dvou sum. Otázkou je, co se skrývá za těmito sumacemi?  Lze dokázat, že se jedná o velmi známé funkce cosinus a sinus; můžeme si to ověřit konstrukcí grafů funkcí
na intervalu [-2π;2π]:
Je tedy vidět, že platí následující vztahy
První dva vzorce se často používají pro definici funkcí sinus a cosinus. Pomocí těchto vzorců počítají tyto funkce i kalkulačky. Poslední vztah se nazývá Eulerův vzorec. Podle mnohých vědců se jedná o nejpozoruhodnější matematický vzorec, neboť vyjadřuje těsnou vazbu mezi exponenciálními a goniometrickými funkcemi a ilustruje tak důvod, proč bývá exponenciální funkce považována za nejdůležitější matematickou funkci vůbec. O hlubších důsledcích Eulerova vzorce někdy příště.

Zdroje a další informace:
Exponential_function, Euler_formula.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Čtvrtek 11. prosince 2008


Jistě nám nikdo nemusí radit v tom, abychom poznali člověka, který má z něčeho radost nebo který se něčeho bojí. Vyjadřovat svého vnitřního prožívání povrchem svého těla je natolik stabilním prvkem mezilidské komunikace, že je univerzálně srozumitelné napříč jednotlivými kulturami a i lidskými rasami. Vědci nedávno vytvořili model, podle něhož se ukazuje, že výrazy tváře odpovídající základním typům emocí lze přesně matematicky popsat.


Pátek 5. prosince 2008



Čtvrtek 27. listopadu 2008



Pondělí 24. listopadu 2008


Akciové trhy poklesly a ekonomové a obchodní publicisté zaplnili spoustu stránek úvahami o zodpovědnosti za pokračující finanční krizi. Inu, po bitvě je každý generálem, ale vědci se raději pokouší vytvořit nové ekonomické modely, které poskytnou politikům realističtější obrázek různých typů trhů tak, aby mohli být generály ještě před bitvou a vyhrát boj s ekonomickou krizí.


Neděle 9. listopadu 2008


V minulém příspěvku jsem poukázal na krásné vyjádření Eulerova čísla pomocí limity či nekonečného součtu. Eulerovo číslo  se vyskytuje poměrně často v mnoha oborech. V tomto článku poukáži na podle mého názoru dva nejzajímavější příklady.

Troufám si tvrdit, že řada lidí by nehledala Eulerovo číslo ve finančnictví, ale ono tam je - ve složeném úročení.

Řekněme, že si někdo dá 10 000 Kč na nějaký termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 10% a ročním připisováním úroků na dobu 5 let. Pak na konci pětiletého období bude mít na účtu (pomineme-li pro zjednodušení zdanění úroků) 10 000× 1,15 =16105,1 Kč. Matematicky lze složené úročení popsat jednoduchou rovnicí

kde FV je budoucí hodnota investovaných peněz, PV současná hodnota a i úroková míra. Vraťme se k našemu příkladu a uvažujme situace, kdy dochází k připisování úroků
  1. čtvrtletně,
  2. měsíčně,
  3. denně,
  4. nepřetržitě.
Použitím posledně uvedeného vzorce získáme následující výsledky
Poslední případ, kdy dochází k nepřetržitému přidávání úroku k jistině, se nazývá spojité úročení:
kde e je Eulerovo číslo, t počet let a i  úroková míra spjatá s každým přípisem úroku (tedy i je např. čtvrtina roční nominální úrokové míry). Všimněme si, že denní úročení se dosti podobá svým výsledkem spojitému úročení. Z příkladu plyne, že bychom si u různých finančních produktů, jako jsou např. spořící účty měli všímat četnosti připisování úroků, neboť s vyšší četností dosáhneme většího výdělku.

Číslo e se vyskytuje i v teorii pravděpodobnosti. Příklad: Uvažujme hráče u herního automatu, u kterého nastává výhra jednou za n her. A nechť tento hráč bude hrát právě n her. Potom pro velká n platí, že pravděpodobnost, že hráč nevyhraje ani jednu hru ze všech n her je rovna 1/e.

Tato úloha z teorie pravděpodobnosti je klasickým příkladem tzv. Bernoulliho procesu, kdy se mnohokrát (n-krát) opakuje situace, u které může nastat pouze jedna ze dvou možností, z nichž jednu chápeme jako výhru a druhou jako prohru. Uvažme například situaci, kdy n-krát házíme jednou mincí. Jako výhru v každém hodu chápejme situaci, kdy padne líc. A nechť pravděpodobnost výhry (padl líc) je rovna p. Potom pravděpodobnost, že vyhrajeme k-krát ze všech n-pokusů je rovna
Vraťme se k našemu příkladu; ze zadání plyne  n → ∞, k → 0. Nyní můžeme využít předcházejícího vzorce. Pravděpodobnost výhry v jednom hodu je p=1/n. Proto pravděpodobnost, že hráč nevyhraje ani jednu hru ze všech n her je rovna
Eulerovo číslo se vyskytuje i mnoha dalších mnohem složitějších matematických problémech, ale tyto dva pěkné příklady názorně ukazují, že matematické konstanty se mohou vyskytovat i v mnoha problémech běžného života.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Neděle 19. října 2008


Mezi nejdůležitější matematické konstanty patří e, která se někdy nazývá Eulerova či Napierova konstanta. Matematika sice neobsahuje tolik význačných konstant jako fyzika, ale její konstanty jsou často pilířem určité ucelené teorie - např. imaginární jednotka i pro terorii komplexních čísel, 0 a 1 pro aritmetiku, či Ludolfovo číslo π pro geometrii.

Konstanta e, jejíž přibližná hodnota je 2,718281828459045235360287471352, se často definuje jako takové jediné reálné číslo a s vlastností, že funkce ax má hodnotu směrnice tečny v bodě 0 rovnu 1. První odkazy na tuto konstantu se objevují v roce 1618 v práci o logaritmických funkcích Johna Napiera. V této práci byla příloha, která obsahovala tabulku různých konstant a   funkčních hodnot přirozených logaritmů. Ale samotný "objev" této konstanty se přisuzuje Jacobu Bernoullimu, který se zabýval výpočtem limity

neboť jak se ukázalo, tato limita se rovná právě Napierově konstantě. Éčko se pro tuto konstantu používá od roku 1736, kdy Leonhard Euler publikoval svoji práci Mechanica.

Podívejme se nyní na důkaz, že výše uvedená limita existuje a  je rovna e. V důkazu využijeme známé nerovnosti mezi geometrickým a aritmetickým průměrem:
Dokažme nejprve, že posloupnost {1+1/n}n (n=1,...,∞) je rostoucí1:
Dále dokážeme, že posloupnost {1+1/n}n je shora omezená.
Ještě lze dokázat, že poslední suma je menší nebo rovna 3. Nyní již víme, že naše zkoumaná posloupnost má limitu e a pro tuto limitu platí, že je menší nebo rovna výše uvedené sumě. Pokud dokážeme, že platí i obrácená nerovnost, pak získáme vztah pro numerický výpočet Eulerovy konstanty.

Zvolme m,nN, mn a rozepišme podobně jako výše výraz
a nyní limitním přechodem pro n → ∞ dostaneme pro každé mN
Provedeme-li další limitní přechod m → ∞ dostaneme
Celkem tedy platí
a snadno si můžeme pomocí součtu několika prvních členů výše uvedené nekonečné řady ověřit, že e=2,718281.....

Eulerova konstanta má spoustu zajímavých vlastností a aplikací, o tom ale příště.

Poznámky
  1. to platí tehdy, když pro všechny členy posloupnosti platí, že následující člen je větší než předcházející člen.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Středa 15. října 2008



Sobota 27. září 2008



Středa 27. srpna 2008



Neděle 13. července 2008


Mezi nekonečnými řadami zaujímají významné postavení dvě řady:

Vypadají docela podobně, ale z hlediska matematické struktury se zásadně liší, ta první, tzv. harmonická řada nemá konečný součet, tedy diverguje. Ta druhá má, jak ukáži později, konečný součet.

Divergenci harmonické řady jako první dokázal francouzský matematik a filosof Nicole Oresme (1323-1382). Jeho postup byl geniálně jednoduchý, všiml, že součet třetího a čtvrtého členu je větší nebo roven 1/2, a stejná nerovnost platí dále pro další 4 členy (1/5,...1/8), a pak pro následujících 16 členů od 1/9 do 1/32, a tak pořád dál. Viz schéma:
Ukázal tedy, že součet harmonické řady je větší nebo roven nekonečnému součtu řady samých polovin, a protože nekonečná řada samých 1/2 je divergentní musí být divergentní i samotná harmonická řada.

V roce 1735 ve svých dvaceti osmi letech vyřešil Leonhard Euler (1707-1783) problém, který úspěšně odolával mnoha pokusům o jeho vyřešení. Jednalo se o otázku konvergence nekonečné řady ∑ 1/n2 (viz). Motivace pro vyřešení tohoto problému byla velmi velká - pokud by tato řada konvergovala pak rovněž všechny řady
konvergovaly. Euler použil na vyřešení tohoto problému na tehdejší velmi důmyslnou metodu. V podstatě učinil předpoklad, že vlastnosti, které mají konečné polynomy mohou splňovat i nekonečné řady. Na začátku jeho úvah stála funkce sinus, použil v tehdejší době již známý vztah pro tuto funkci:
Tento vztah se nazývá Taylorův rozvoj funkce sinus. Podělil dále tuto rovnici funkcí x:
Tato funkce má kořeny (taková x, že (sin x) / x =0) v bodech x=n·π, kde n=±1,±2,±3,... . Pravá strana ve výše uvedené rovnici představuje v podstatě polynom, a každý polynom lze vyjádřit v součinovém tvaru (součin ireducibilních faktorů), proto dostáváme po této úvaze následující vztah

, kde se také využil od základní školy všem jistě známý vzoreček (A-B)(A+B)=A2-B2. Teď si musíme dát tu práci - provést naznačené násobení a hledat koeficienty u x2 . Zjistíme, že pro výsledný koeficient u x2 platí:
Ale funkce (sin x)/x má ve svém základním vyjádření koeficient u x2 roven -1/3!, tedy -1/6. Tato dvě vyjádření vztahu pro koeficient u x2 se musí sobě rovnat,
Tedy

Z tohoto finálního vztahu vyplývá nádherný vzorec
a navíc i konvergence všech nekonečný řad (viz srovnávací kritérium) ∑ 1/ns , kde s ≥ 2.
Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Středa 11. června 2008


V pátek 13. června oslaví své osmdesátiny americký matematik John Forbes Nash. Proslavil se na poli teorie her. Pokud místo matematiky chcete raději jít na fotbal, můžeme vám zaručit, že ani tam se před počty neschováte. Nashovu teorii lze totiž využít i na hřišti. Více se dozvíte v rozhovoru s Prof. RNDr. Milanem Marešem, DrSc., z Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR.


Středa 28. května 2008



Úterý 6. května 2008



Neděle 27. dubna 2008



Pátek 18. dubna 2008



Čtvrtek 6. března 2008



Neděle 17. února 2008


V minulém příspěvku jsme viděli, jak moderní matematika dokázala vyřešit starý antický problém. Uvedenou metodu nelze bohužel použít pro všechny nekonečné řady.

Uvažujme například nekonečnou řadu


Tahle řada má několik rychlých způsobů "výpočtu". Lze se na ní dívat jako na nekonečný součet dvojic (1-1) nebo nekonečný součet jedničky a nekonečně mnoho dvojic (-1+1). Pak tedy v prvním případě by byl součet roven nule a v druhém případě roven jedné.

Nabízí se i další varianta výpočtu, pod původní řadu si napíšeme tu stejnou řadu, kterou vynásobíme číslem -1:
Pokud nyní odečteme druhou řadu od první získáme tak rovnost 2S=1. Celkem jsme tedy získali tři možné varianty součtu nekonečné řady: 0,1 a 1/2.
Která je varianta je ale správná? Odpověď je žádná. Neboť tato řada patří mezi takzvané alternující (oscilující) řady, u kterých nelze najít jednoznačný součet.

Podívejme se nyní blíže na základní pojmy v teorii nekonečných řad. Nekonečná řada

se na nazývá konvergentní, jestliže posloupnost částečných součtů s1=a1, s2=a1+a2, s3=a1+a2+a3, ... sn=a1+a2+a3+...+an,... má vlastní limitu. Což zjednodušeně znamená, že pokud bychom zkoušeli počítat součet řady s postupně narůstajícím počtem sčítanců, pak bychom se postupně dostávali k čím dál přesnějšímu výsledku. Řady, které nejsou konvergentní se nazývají divergentní, mezi ně patří i řady oscilující.

V minulém příspěvku jsme viděli příklad nekonečné řady, která se vyskytuje v aporii Achilles a želva. Tato řada patří do důležité skupiny geometrických řad, které lze obecně vyjádřit jako:

Zabývejme se nyní otázkou konvergence řady. Výraz q (kvocient) zde má roli parametru. Určíme nejprve n-tý člen posloupnosti částečných součtů a pak provedeme limitní přechod.
  1. Nechť q=1. Pak s1=a, s2=a+a=2a, ... sn=na. Provedeme limitní přechod ("pustíme n do nekonečna") s = lim sn = lim na = ±∞. Řada je v tomto případě divergentní, a tedy součet neexistuje.
  2. Nechť q=-1. Pak s1=a, s2=a-a=0, s3=a-a+a=a ... Tedy sn=0 (pro n sudé) nebo sn=a (pro n liché). Posloupnost částečných součtů má tedy tvar 0,a,0,a,0,...., nemá limitu, a nekonečná řada tedy osciluje.
  3. Nechť q ≠1, q ≠ -1. V tomto případě platí sn=a+aq+...+aqn-1 . Nyní použijeme vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti:

    Nyní musíme opět rozlišit případy, kdy:
    • q ∈ (-1;1). Spočteme limitu limn→∞ sn :

      Tento případ je nejzajímavější, geometrická řada je konvergentní a má tedy součet, který je dán výše uvedeným vzorečkem .
    • V ostatních případech (q>1 nebo q <-1) použitím výše uvedeného vzorce zjistíme, že limita sn není rovna konečnému číslu
Proto, v případě, kdy |q|<1 platí pro součet nekonečné geometrické řady vzorec


Tento vzoreček lze snadno aplikovat v případech, kdy chceme vyjádřit pomocí zlomku číslo s nekonečným desetinným rozvojem.

Příklad: Vyjádřeme pomocí zlomku číslo 0,02222222222222222222.
Platí: 0,02222222222222222222=0,02+0,002+0,0002+..... Sčítance tvoří geometrickou posloupnost s prvním členem a=0,02 a kvocientem q=1/10. Platí tedy, že |q|<1. A proto

Tedy 0,022222222222222222222222222222222222=1/45.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Úterý 12. února 2008



Úterý 29. ledna 2008



Úterý 8. ledna 2008



Pátek 21. prosince 2007


Mezi nejznámější antické paradoxy patří paradox Achilla a želvy. Tento paradox spolu s dalšími vyslovil v pátém století před naším letopočtem Zénón z Eleje. Chtěl tím dokázat především nemožnost pohybu.

Paradox Achilla a želvy spočívá v následujících úvahách. Achilles má závodit s želvou ve sprintu na 100 m. Protože je Achilles desetkrát rychlejší než želva, dostane želva desetimetrový náskok. Závod je odstartován a Achilles začíná želvu dohánět. Achilles uběhne 10 m a dostane se do místa, z něhož startovala želva. V tento okamžik urazila želva již jeden metr, takže má před Achillem náskok jednoho metru. Achilles uběhne tuto vzdálenost, ale želva je stále napřed, nyní o 1/10 m. Ve chvíli, kdy Achilles dosáhne i tohoto bodu, je želva o 1/100 m před ním. A tak dále až do nekonečna. Náskok želvy se sice stále zmenšuje, ale želva pořád vede, a tedy Achilles nemůže tento závod vyhrát.

O podobných úvahách, o podstatě prostoru, času a pohybu, debatovala spousta filozofů, ale definitivně byly tyto myšlenkové postupy, které měly dokázat nemožnost pohybu, vyvráceny až s nástupem matematické analýzy v devatenáctém století, která dokázala korektně zadefinovat a pochopit pojem nekonečno.

Tak například výše zmíněný Zénónův paradox byl vyřešen následovně. Náskok želvy před Achillem tvoří klesající posloupnost:

Tedy řešení tohoto paradoxu souvisí zřejmě s nekonečným součtem
kde tři čtečky znamenají, že se sčítá až do nekonečna. Takovéto výrazy se nazývají nekonečné řady a značí se ∑ . V našem případě nekonečný součet lze zapsat jako
Numericky nemůžeme samozřejmě všechny členy řady sečíst, ale můžeme tak získat takzvané částečné součty, které tvoří posloupnost tzv. částečných součtů, která hraje v teorii nekonečných řad velmi důležitou roli. Vraťme se k našemu nekonečnému součtu. Nabízí se zásadní otázka může mít nekonečná řada čísel konečný součet. Antičtí filozofové si mysleli, že ne, a proto byl pro ně závod Achilla se želvou paradoxem.

Zkusme ale vynásobit součet S deseti získáme tak následující nekonečný součet
A nyní obě rovnice odečtěme a získáme tak rovnost
Tedy nekonečná číselná řada má konečný součet, S= 11,11111111111111111 . Jinak řečeno Achilles dohoní želvu přesně po 11 a 1/9 metrech.

Zdroje a další informace

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha