52 článků s nálepkou matematika


Čtvrtek 27. listopadu 2008



Pondělí 24. listopadu 2008


Akciové trhy poklesly a ekonomové a obchodní publicisté zaplnili spoustu stránek úvahami o zodpovědnosti za pokračující finanční krizi. Inu, po bitvě je každý generálem, ale vědci se raději pokouší vytvořit nové ekonomické modely, které poskytnou politikům realističtější obrázek různých typů trhů tak, aby mohli být generály ještě před bitvou a vyhrát boj s ekonomickou krizí.


Neděle 9. listopadu 2008


V minulém příspěvku jsem poukázal na krásné vyjádření Eulerova čísla pomocí limity či nekonečného součtu. Eulerovo číslo  se vyskytuje poměrně často v mnoha oborech. V tomto článku poukáži na podle mého názoru dva nejzajímavější příklady.

Troufám si tvrdit, že řada lidí by nehledala Eulerovo číslo ve finančnictví, ale ono tam je - ve složeném úročení.

Řekněme, že si někdo dá 10 000 Kč na nějaký termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 10% a ročním připisováním úroků na dobu 5 let. Pak na konci pětiletého období bude mít na účtu (pomineme-li pro zjednodušení zdanění úroků) 10 000× 1,15 =16105,1 Kč. Matematicky lze složené úročení popsat jednoduchou rovnicí

kde FV je budoucí hodnota investovaných peněz, PV současná hodnota a i úroková míra. Vraťme se k našemu příkladu a uvažujme situace, kdy dochází k připisování úroků
  1. čtvrtletně,
  2. měsíčně,
  3. denně,
  4. nepřetržitě.
Použitím posledně uvedeného vzorce získáme následující výsledky
Poslední případ, kdy dochází k nepřetržitému přidávání úroku k jistině, se nazývá spojité úročení:
kde e je Eulerovo číslo, t počet let a i  úroková míra spjatá s každým přípisem úroku (tedy i je např. čtvrtina roční nominální úrokové míry). Všimněme si, že denní úročení se dosti podobá svým výsledkem spojitému úročení. Z příkladu plyne, že bychom si u různých finančních produktů, jako jsou např. spořící účty měli všímat četnosti připisování úroků, neboť s vyšší četností dosáhneme většího výdělku.

Číslo e se vyskytuje i v teorii pravděpodobnosti. Příklad: Uvažujme hráče u herního automatu, u kterého nastává výhra jednou za n her. A nechť tento hráč bude hrát právě n her. Potom pro velká n platí, že pravděpodobnost, že hráč nevyhraje ani jednu hru ze všech n her je rovna 1/e.

Tato úloha z teorie pravděpodobnosti je klasickým příkladem tzv. Bernoulliho procesu, kdy se mnohokrát (n-krát) opakuje situace, u které může nastat pouze jedna ze dvou možností, z nichž jednu chápeme jako výhru a druhou jako prohru. Uvažme například situaci, kdy n-krát házíme jednou mincí. Jako výhru v každém hodu chápejme situaci, kdy padne líc. A nechť pravděpodobnost výhry (padl líc) je rovna p. Potom pravděpodobnost, že vyhrajeme k-krát ze všech n-pokusů je rovna
Vraťme se k našemu příkladu; ze zadání plyne  n → ∞, k → 0. Nyní můžeme využít předcházejícího vzorce. Pravděpodobnost výhry v jednom hodu je p=1/n. Proto pravděpodobnost, že hráč nevyhraje ani jednu hru ze všech n her je rovna
Eulerovo číslo se vyskytuje i mnoha dalších mnohem složitějších matematických problémech, ale tyto dva pěkné příklady názorně ukazují, že matematické konstanty se mohou vyskytovat i v mnoha problémech běžného života.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Neděle 19. října 2008


Mezi nejdůležitější matematické konstanty patří e, která se někdy nazývá Eulerova či Napierova konstanta. Matematika sice neobsahuje tolik význačných konstant jako fyzika, ale její konstanty jsou často pilířem určité ucelené teorie - např. imaginární jednotka i pro terorii komplexních čísel, 0 a 1 pro aritmetiku, či Ludolfovo číslo π pro geometrii.

Konstanta e, jejíž přibližná hodnota je 2,718281828459045235360287471352, se často definuje jako takové jediné reálné číslo a s vlastností, že funkce ax má hodnotu směrnice tečny v bodě 0 rovnu 1. První odkazy na tuto konstantu se objevují v roce 1618 v práci o logaritmických funkcích Johna Napiera. V této práci byla příloha, která obsahovala tabulku různých konstant a   funkčních hodnot přirozených logaritmů. Ale samotný "objev" této konstanty se přisuzuje Jacobu Bernoullimu, který se zabýval výpočtem limity

neboť jak se ukázalo, tato limita se rovná právě Napierově konstantě. Éčko se pro tuto konstantu používá od roku 1736, kdy Leonhard Euler publikoval svoji práci Mechanica.

Podívejme se nyní na důkaz, že výše uvedená limita existuje a  je rovna e. V důkazu využijeme známé nerovnosti mezi geometrickým a aritmetickým průměrem:
Dokažme nejprve, že posloupnost {1+1/n}n (n=1,...,∞) je rostoucí1:
Dále dokážeme, že posloupnost {1+1/n}n je shora omezená.
Ještě lze dokázat, že poslední suma je menší nebo rovna 3. Nyní již víme, že naše zkoumaná posloupnost má limitu e a pro tuto limitu platí, že je menší nebo rovna výše uvedené sumě. Pokud dokážeme, že platí i obrácená nerovnost, pak získáme vztah pro numerický výpočet Eulerovy konstanty.

Zvolme m,nN, mn a rozepišme podobně jako výše výraz
a nyní limitním přechodem pro n → ∞ dostaneme pro každé mN
Provedeme-li další limitní přechod m → ∞ dostaneme
Celkem tedy platí
a snadno si můžeme pomocí součtu několika prvních členů výše uvedené nekonečné řady ověřit, že e=2,718281.....

Eulerova konstanta má spoustu zajímavých vlastností a aplikací, o tom ale příště.

Poznámky
  1. to platí tehdy, když pro všechny členy posloupnosti platí, že následující člen je větší než předcházející člen.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Středa 15. října 2008



Sobota 27. září 2008



Středa 27. srpna 2008



Neděle 13. července 2008


Mezi nekonečnými řadami zaujímají významné postavení dvě řady:

Vypadají docela podobně, ale z hlediska matematické struktury se zásadně liší, ta první, tzv. harmonická řada nemá konečný součet, tedy diverguje. Ta druhá má, jak ukáži později, konečný součet.

Divergenci harmonické řady jako první dokázal francouzský matematik a filosof Nicole Oresme (1323-1382). Jeho postup byl geniálně jednoduchý, všiml, že součet třetího a čtvrtého členu je větší nebo roven 1/2, a stejná nerovnost platí dále pro další 4 členy (1/5,...1/8), a pak pro následujících 16 členů od 1/9 do 1/32, a tak pořád dál. Viz schéma:
Ukázal tedy, že součet harmonické řady je větší nebo roven nekonečnému součtu řady samých polovin, a protože nekonečná řada samých 1/2 je divergentní musí být divergentní i samotná harmonická řada.

V roce 1735 ve svých dvaceti osmi letech vyřešil Leonhard Euler (1707-1783) problém, který úspěšně odolával mnoha pokusům o jeho vyřešení. Jednalo se o otázku konvergence nekonečné řady ∑ 1/n2 (viz). Motivace pro vyřešení tohoto problému byla velmi velká - pokud by tato řada konvergovala pak rovněž všechny řady
konvergovaly. Euler použil na vyřešení tohoto problému na tehdejší velmi důmyslnou metodu. V podstatě učinil předpoklad, že vlastnosti, které mají konečné polynomy mohou splňovat i nekonečné řady. Na začátku jeho úvah stála funkce sinus, použil v tehdejší době již známý vztah pro tuto funkci:
Tento vztah se nazývá Taylorův rozvoj funkce sinus. Podělil dále tuto rovnici funkcí x:
Tato funkce má kořeny (taková x, že (sin x) / x =0) v bodech x=n·π, kde n=±1,±2,±3,... . Pravá strana ve výše uvedené rovnici představuje v podstatě polynom, a každý polynom lze vyjádřit v součinovém tvaru (součin ireducibilních faktorů), proto dostáváme po této úvaze následující vztah

, kde se také využil od základní školy všem jistě známý vzoreček (A-B)(A+B)=A2-B2. Teď si musíme dát tu práci - provést naznačené násobení a hledat koeficienty u x2 . Zjistíme, že pro výsledný koeficient u x2 platí:
Ale funkce (sin x)/x má ve svém základním vyjádření koeficient u x2 roven -1/3!, tedy -1/6. Tato dvě vyjádření vztahu pro koeficient u x2 se musí sobě rovnat,
Tedy

Z tohoto finálního vztahu vyplývá nádherný vzorec
a navíc i konvergence všech nekonečný řad (viz srovnávací kritérium) ∑ 1/ns , kde s ≥ 2.
Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Středa 11. června 2008


V pátek 13. června oslaví své osmdesátiny americký matematik John Forbes Nash. Proslavil se na poli teorie her. Pokud místo matematiky chcete raději jít na fotbal, můžeme vám zaručit, že ani tam se před počty neschováte. Nashovu teorii lze totiž využít i na hřišti. Více se dozvíte v rozhovoru s Prof. RNDr. Milanem Marešem, DrSc., z Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR.


Středa 28. května 2008



Úterý 6. května 2008



Neděle 27. dubna 2008



Pátek 18. dubna 2008



Čtvrtek 6. března 2008



Neděle 17. února 2008


V minulém příspěvku jsme viděli, jak moderní matematika dokázala vyřešit starý antický problém. Uvedenou metodu nelze bohužel použít pro všechny nekonečné řady.

Uvažujme například nekonečnou řadu


Tahle řada má několik rychlých způsobů "výpočtu". Lze se na ní dívat jako na nekonečný součet dvojic (1-1) nebo nekonečný součet jedničky a nekonečně mnoho dvojic (-1+1). Pak tedy v prvním případě by byl součet roven nule a v druhém případě roven jedné.

Nabízí se i další varianta výpočtu, pod původní řadu si napíšeme tu stejnou řadu, kterou vynásobíme číslem -1:
Pokud nyní odečteme druhou řadu od první získáme tak rovnost 2S=1. Celkem jsme tedy získali tři možné varianty součtu nekonečné řady: 0,1 a 1/2.
Která je varianta je ale správná? Odpověď je žádná. Neboť tato řada patří mezi takzvané alternující (oscilující) řady, u kterých nelze najít jednoznačný součet.

Podívejme se nyní blíže na základní pojmy v teorii nekonečných řad. Nekonečná řada

se na nazývá konvergentní, jestliže posloupnost částečných součtů s1=a1, s2=a1+a2, s3=a1+a2+a3, ... sn=a1+a2+a3+...+an,... má vlastní limitu. Což zjednodušeně znamená, že pokud bychom zkoušeli počítat součet řady s postupně narůstajícím počtem sčítanců, pak bychom se postupně dostávali k čím dál přesnějšímu výsledku. Řady, které nejsou konvergentní se nazývají divergentní, mezi ně patří i řady oscilující.

V minulém příspěvku jsme viděli příklad nekonečné řady, která se vyskytuje v aporii Achilles a želva. Tato řada patří do důležité skupiny geometrických řad, které lze obecně vyjádřit jako:

Zabývejme se nyní otázkou konvergence řady. Výraz q (kvocient) zde má roli parametru. Určíme nejprve n-tý člen posloupnosti částečných součtů a pak provedeme limitní přechod.
  1. Nechť q=1. Pak s1=a, s2=a+a=2a, ... sn=na. Provedeme limitní přechod ("pustíme n do nekonečna") s = lim sn = lim na = ±∞. Řada je v tomto případě divergentní, a tedy součet neexistuje.
  2. Nechť q=-1. Pak s1=a, s2=a-a=0, s3=a-a+a=a ... Tedy sn=0 (pro n sudé) nebo sn=a (pro n liché). Posloupnost částečných součtů má tedy tvar 0,a,0,a,0,...., nemá limitu, a nekonečná řada tedy osciluje.
  3. Nechť q ≠1, q ≠ -1. V tomto případě platí sn=a+aq+...+aqn-1 . Nyní použijeme vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti:

    Nyní musíme opět rozlišit případy, kdy:
    • q ∈ (-1;1). Spočteme limitu limn→∞ sn :

      Tento případ je nejzajímavější, geometrická řada je konvergentní a má tedy součet, který je dán výše uvedeným vzorečkem .
    • V ostatních případech (q>1 nebo q <-1) použitím výše uvedeného vzorce zjistíme, že limita sn není rovna konečnému číslu
Proto, v případě, kdy |q|<1 platí pro součet nekonečné geometrické řady vzorec


Tento vzoreček lze snadno aplikovat v případech, kdy chceme vyjádřit pomocí zlomku číslo s nekonečným desetinným rozvojem.

Příklad: Vyjádřeme pomocí zlomku číslo 0,02222222222222222222.
Platí: 0,02222222222222222222=0,02+0,002+0,0002+..... Sčítance tvoří geometrickou posloupnost s prvním členem a=0,02 a kvocientem q=1/10. Platí tedy, že |q|<1. A proto

Tedy 0,022222222222222222222222222222222222=1/45.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Úterý 12. února 2008



Úterý 29. ledna 2008



Úterý 8. ledna 2008



Pátek 21. prosince 2007


Mezi nejznámější antické paradoxy patří paradox Achilla a želvy. Tento paradox spolu s dalšími vyslovil v pátém století před naším letopočtem Zénón z Eleje. Chtěl tím dokázat především nemožnost pohybu.

Paradox Achilla a želvy spočívá v následujících úvahách. Achilles má závodit s želvou ve sprintu na 100 m. Protože je Achilles desetkrát rychlejší než želva, dostane želva desetimetrový náskok. Závod je odstartován a Achilles začíná želvu dohánět. Achilles uběhne 10 m a dostane se do místa, z něhož startovala želva. V tento okamžik urazila želva již jeden metr, takže má před Achillem náskok jednoho metru. Achilles uběhne tuto vzdálenost, ale želva je stále napřed, nyní o 1/10 m. Ve chvíli, kdy Achilles dosáhne i tohoto bodu, je želva o 1/100 m před ním. A tak dále až do nekonečna. Náskok želvy se sice stále zmenšuje, ale želva pořád vede, a tedy Achilles nemůže tento závod vyhrát.

O podobných úvahách, o podstatě prostoru, času a pohybu, debatovala spousta filozofů, ale definitivně byly tyto myšlenkové postupy, které měly dokázat nemožnost pohybu, vyvráceny až s nástupem matematické analýzy v devatenáctém století, která dokázala korektně zadefinovat a pochopit pojem nekonečno.

Tak například výše zmíněný Zénónův paradox byl vyřešen následovně. Náskok želvy před Achillem tvoří klesající posloupnost:

Tedy řešení tohoto paradoxu souvisí zřejmě s nekonečným součtem
kde tři čtečky znamenají, že se sčítá až do nekonečna. Takovéto výrazy se nazývají nekonečné řady a značí se ∑ . V našem případě nekonečný součet lze zapsat jako
Numericky nemůžeme samozřejmě všechny členy řady sečíst, ale můžeme tak získat takzvané částečné součty, které tvoří posloupnost tzv. částečných součtů, která hraje v teorii nekonečných řad velmi důležitou roli. Vraťme se k našemu nekonečnému součtu. Nabízí se zásadní otázka může mít nekonečná řada čísel konečný součet. Antičtí filozofové si mysleli, že ne, a proto byl pro ně závod Achilla se želvou paradoxem.

Zkusme ale vynásobit součet S deseti získáme tak následující nekonečný součet
A nyní obě rovnice odečtěme a získáme tak rovnost
Tedy nekonečná číselná řada má konečný součet, S= 11,11111111111111111 . Jinak řečeno Achilles dohoní želvu přesně po 11 a 1/9 metrech.

Zdroje a další informace

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Pátek 22. června 2007


V minulém příspěvku jsem ukázal, jak efektivně spočítat hodnotu polynomu. Nyní se zaměříme na kořeny polynomů. Kořenem polynomu rozumíme takové x, že platí P(x)=0. Polynomem stupně n budeme rozumět výraz kde koeficienty jsou reálná čísla. Polynom stupně n může mít nejvýše n reálných kořenů ( v komplexním oboru jich má přesně n, což je důsledek Základní věty algebry; např. polynom x2-2x+1 má kořeny 1, 1 (dvojnásobný kořen se chápe jako dva různé kořeny). Chápeme-li polynom jako reálnou funkci reálné proměnné, pak kořen polynomu představuje takový bod na ose x, kde polynom jako křivka protíná osu x.

Kořeny polynomů se dají určit dvěma způsoby. Buď použijeme explicitní vzorce (jako např. pro polynom druhého st. - známé vzorce pro kvadratickou rovnici) nebo využijeme nějaké numerické metody. Druhý způsob je univerzálnější, neboť vzorce pro nalezení kořenů polynomů existují pouze pro polynomu nejvýše 4. stupně (objev geniálního norského matematika Abela, a i tak s výjimkou polynomu prvního a druhé stupně jsou značně složité, viz Cardanovy vzorce).

Vhodných numerický metod je více, o nich bude řeč příště. Pro použití numerických metod je dobré znát hranice kořenů, tedy intervaly na reálné ose, kde se mohou vyskytnout.

Označme kde ak , k=0,1,..., n, a0an ≠ 0, jsou koeficienty polynomu P, Pak pro všechny jeho kořeny ζk platí Příklad. Chceme určit hranice reálných kořenů polynomu

Určíme A, B : A = max(10, 1, 1, 3, 8, 2 ) = 10, B = max(1, 1, 3, 8, 2, 1) = 8, a proto
To znamená, že reálné kořeny leží ve sjednocení intervalů (-11,-5/9) a (5/9,11). Použijeme-li nějaký počítačový program na výpočet kořenů, můžeme si náš výsledek ověřit - náš polynom má následující kořeny (pouze 3. a 4. kořen je reálný) :


Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


Pondělí 28. května 2007


Matematický ústav AV ČR, v. v. i., pořádá přednášku Výpočtová věda, matematika a kam se ubíráme, kterou prosloví prof. Ivo Babuška (University of Texas at Austin). Přednáška se uskuteční ve čtvrtek 31. května 2007 ve 14:00 h ve velké posluchárně ústavu, Žitná 25, Praha 1.

Přednáška bude přednesena v rámci cyklu reprezentačních přednášek organizovaných na počest prof. Eduarda Čecha, jednoho z nejvýznamnějších českých matematiků novodobé historie a zakladatele Matematického ústavu AV ČR, v. v. i.

číst dál


Úterý 13. března 2007



Pondělí 12. února 2007


Popularizovat tak složitý a abstraktní obor jako je matematika není vůbec snadné. Obdiv zaslouží každý, kdo se do tak náročného podniku vůbec pustí. Momentálně jsou v prodeji překlady dvou velmi zajímavých knih od profesionálních matematiků, kteří se snaží přesvědčit neodborníky o kráse i užitečnosti moderní matematiky. Jak se jim to daří?


Pondělí 25. prosince 2006