Mezi nekonečnými řadami zaujímají významné postavení dvě řady:
Divergenci harmonické řady jako první dokázal francouzský matematik a filosof Nicole Oresme (1323-1382). Jeho postup byl geniálně jednoduchý, všiml, že součet třetího a čtvrtého členu je větší nebo roven 1/2, a stejná nerovnost platí dále pro další 4 členy (1/5,...1/8), a pak pro následujících 16 členů od 1/9 do 1/32, a tak pořád dál. Viz schéma:
Ukázal tedy, že součet harmonické řady je větší nebo roven nekonečnému součtu řady samých polovin, a protože nekonečná řada samých 1/2 je divergentní musí být divergentní i samotná harmonická řada.
V roce 1735 ve svých dvaceti osmi letech vyřešil Leonhard Euler (1707-1783) problém, který úspěšně odolával mnoha pokusům o jeho vyřešení. Jednalo se o otázku konvergence nekonečné řady ∑ 1/n2 (viz). Motivace pro vyřešení tohoto problému byla velmi velká - pokud by tato řada konvergovala pak rovněž všechny řady
konvergovaly. Euler použil na vyřešení tohoto problému na tehdejší velmi důmyslnou metodu. V podstatě učinil předpoklad, že vlastnosti, které mají konečné polynomy mohou splňovat i nekonečné řady. Na začátku jeho úvah stála funkce sinus, použil v tehdejší době již známý vztah pro tuto funkci:
Tento vztah se nazývá Taylorův rozvoj funkce sinus. Podělil dále tuto rovnici funkcí x:
Tato funkce má kořeny (taková x, že (sin x) / x =0) v bodech x=n·π, kde n=±1,±2,±3,... . Pravá strana ve výše uvedené rovnici představuje v podstatě polynom, a každý polynom lze vyjádřit v součinovém tvaru (součin ireducibilních faktorů), proto dostáváme po této úvaze následující vztah
, kde se také využil od základní školy všem jistě známý vzoreček (A-B)(A+B)=A2-B2. Teď si musíme dát tu práci - provést naznačené násobení a hledat koeficienty u x2 . Zjistíme, že pro výsledný koeficient u x2 platí:
Ale funkce (sin x)/x má ve svém základním vyjádření koeficient u x2 roven -1/3!, tedy -1/6. Tato dvě vyjádření vztahu pro koeficient u x2 se musí sobě rovnat,
Tedy
Z tohoto finálního vztahu vyplývá nádherný vzorec
a navíc i konvergence všech nekonečný řad (viz srovnávací kritérium) ∑ 1/ns , kde s ≥ 2.