Mezi nejznámější antické paradoxy patří paradox Achilla a želvy. Tento paradox spolu s dalšími vyslovil v pátém století před naším letopočtem Zénón z Eleje. Chtěl tím dokázat především nemožnost pohybu.
Paradox Achilla a želvy spočívá v následujících úvahách. Achilles má závodit s želvou ve sprintu na 100 m. Protože je Achilles desetkrát rychlejší než želva, dostane želva desetimetrový náskok. Závod je odstartován a Achilles začíná želvu dohánět. Achilles uběhne 10 m a dostane se do místa, z něhož startovala želva. V tento okamžik urazila želva již jeden metr, takže má před Achillem náskok jednoho metru. Achilles uběhne tuto vzdálenost, ale želva je stále napřed, nyní o 1/10 m. Ve chvíli, kdy Achilles dosáhne i tohoto bodu, je želva o 1/100 m před ním. A tak dále až do nekonečna. Náskok želvy se sice stále zmenšuje, ale želva pořád vede, a tedy Achilles nemůže tento závod vyhrát.
O podobných úvahách, o podstatě prostoru, času a pohybu, debatovala spousta filozofů, ale definitivně byly tyto myšlenkové postupy, které měly dokázat nemožnost pohybu, vyvráceny až s nástupem matematické analýzy v devatenáctém století, která dokázala korektně zadefinovat a pochopit pojem nekonečno.
Tak například výše zmíněný Zénónův paradox byl vyřešen následovně. Náskok želvy před Achillem tvoří klesající posloupnost:
Zkusme ale vynásobit součet S deseti získáme tak následující nekonečný součetA nyní obě rovnice odečtěme a získáme tak rovnostTedy nekonečná číselná řada má konečný součet, S= 11,11111111111111111 . Jinak řečeno Achilles dohoní želvu přesně po 11 a 1/9 metrech.
Zdroje a další informace
- - Zeno's paradoxes
- - Kieth Devlin: Jazyk matematiky, Dokořán, Argo, 2002